1、（2010o大连）如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．


说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）m=1（如图2）
（2）m=1，k=1（如图3）考点：平行线分线段成比例；勾股定理．专题：几何综合题．分析：过点E作EM⊥AB，EN⊥CD，根据CD⊥AB和EF⊥BE先证明△EFM与△EGN相似，得到EF：EG=EM：EN，再根据平行线分线段成比例定理求出EM：CG=AE：AC，EN：AD=CE：AC，结合CE=kEA即可用CD、AD表示出EM与EN，再利用∠A的正切值即可求出．解答：


点评：本题难度较大，主要利用相似三角形对应边成比例求解，正确作出辅助线是解本题的关键，这就要求同学们在平时的学习中不断积累经验，开拓视野．

2.在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；

（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO = OB．

求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的BD/AC值．

解：（1）AO = BD，AO⊥BD；

（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．

又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，

∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．

又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．

∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．

（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．

又∵∠BOE = ∠AOC ，

∴△BOE ∽ △AOC．

∴BE/AC=BO/AO

又∵OB = kAO，

由（2）的方法易得 BE = BD．∴BD/AC=k

另一方法：

3（2010o镇江）描述证明：
海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：

（1）请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象；
（2）请你证明海宝发现的这个有趣现象．

考点：分式的加减法；完全平方公式．专题：阅读型．分析：根据海宝的叙述，易得到规律为若 a/b+b/a+2=ab，①那么a+b=ab；②
首先将①式的等号左边通分、合并，此时分子是一个完全平方式，等号左右两边同乘以ab，可得到：（a+b）²=（ab）²，由于a、b均为正数，即可证得②的结论．解答：解：（1）如果 a/b+b/a+2=ab，（1分）那么a+b=ab；（2分）

（2）证明：∵ a/b+b/a+2=ab，∴(a²+b²+2ab)/ab=ab，（3分）
∴a²+b²+2ab=（ab）²，∴（a+b）²=（ab）²；（5分）
∵a＞0，b＞0，a+b＞0，ab＞0，
∴a+b=ab．（6分）点评：此题主要考查的是分式的加减运算及完全平方公式的应用，通过图表形象地解决了数学知识。

4.（2010o南宁）如图所示，点A₁，A₂，A₃在x轴上，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃，分别过点A₂，A₂，A₃作y轴的平行线，与反比例函数y= 8x（x＞0）的图象分别交于点B₁，B₂，B₃，分别过点B₁，B₃，B₃作x轴的平行线，分别于y轴交于点C₁，C₂，C₃，连接OB₁，OB₂，OB₃，那么图中阴影部分的面积之和为 49/9

．

考点：反比例函数综合题；反比例函数系数k的几何意义．专题：规律型．分析：先根据反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值得到S_△OB1C1=S_△OB2C2=S_△OB3C3= 12k=4，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．解答：解：根据题意可知S_△OB1C1=S_△OB2C2=S_△OB3C3= 12k=4
∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃，A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥y轴
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s₁，s₂，s₃
则s₁= k/2=4，s₂：S_△OB2C2=1：4，s₃：S_△OB3C3=1：9
∴图中阴影部分的面积分别是s₁=4，s₂=1，s₃= 49
∴图中阴影部分的面积之和=4+1+ 49= 499．
故答案为： 49/9．点评：此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．